Question

用单纯形法求解线性规划问题 maxZ=2x1-x2+x3,

用单纯形法求解线性规划问题
maxZ=2x1-x2+x3,
s.t.{3x1+x2+x3小于等于60，x1-x2+2x3小于等于10，x1+x2-2x3小于等于20，x1,x2,x3大于等于0

Answer 1

偶形式： 2y1-y2-y3=-2 3y1-2y2-3y3=-4 求 max -24y1+10y2+15y3 优解 y1=0,y2=2,y3=0 优值20设原始问题min{cx|Ax=bx≥0}则其偶问题 max{yb|yA≤c}。

原问题引入人工变量x4，剩余变量x5，人工变量x6 。

maxz=2x1+3x2-5x3 -mx4-mx6、x1+x2+x3+x4=7，2x1-5x2+x3-x5+x6=10,x1,x2,x3，x4，x5，x6≥0用人工变量法求解。

扩展资料：

1、线性规划简介：

线性规划步骤：

（1）列出约束条件及目标函数。

（2）画出约束条件所表示的可行域。

（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值。

2、标准型：

描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分：

一个需要极大化的线性函数:

以下形式的问题约束：

和非负变量：

其他类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。

3、模型建立、

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；

1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。

2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。

线性规划难题解法：

3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

所建立的数学模型具有以下特点：

1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。

2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。

3、约束条件也是决策变量的线性函数。

当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

4、解法：

求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。

为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。

这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。

图解法解线性规划问题：

对于一般线性规划问题：Min z=CX、S.T、AX =b、X>=0其中A为一个m*n矩阵。

若A行满秩、则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为：

规划问题2：

Min z=CB XB+CNXN。

线性规划法解题

S.T.B XB+N XN = b (1)、XB >= 0, XN >= 0 (2)(1)两边同乘于B-1，得XB + B-1 N XN = B-1 b。

同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为：

规划问题3：

Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN、XB+B-1N XN = B-1 b (1)、XB >= 0, XN >= 0 (2)。

令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4：

Min z= ζ + σ XN、XB+ N XN = b (1)、XB >= 0, XN >= 0 (2)。

在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。

上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵。所以重在选择B，从而找出对应的CB。

若存在初始基解：若σ>= 0

则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。

若不成立：

可以采用单纯形表变换。

σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。

若Pj <=0不成立。

则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件：

（1）的两边乘以矩阵T。

则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要：

l ai，j>0。

l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。

n 若aq,j<=0，上式一定成立。

n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。

如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。

转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。

若对于每一个i，ai,j<=0最优值无解。

若不能寻找到初始基解无解。

若A不是行满秩化简直到A行满秩，转到若A行满秩。

Answer 2

偶形式： 2y1-y2-y3=-2 3y1-2y2-3y3=-4 求 max -24y1+10y2+15y3 优解 y1=0,y2=2,y3=0 优值 20 设原始问题min{cx|Ax=bx≥0}则其偶问题 max{yb|yA≤c}