Question

二次函数y=x2-(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数,若其图像过原点,求函数解析式

已知二次函数y=x2-(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数,
（1）若其图像过原点,求函数解析式
（2）怎样平移此函数图像，使它在x≥2时，y随x的增大而增大；在x≤2时，y随x的增大而减小

Answer 1

因为其图像过原点 y=x2-(m-1)x+m2-2m-3,代入（0,0）

m2-2m-3=0
m=3 m=-1

函数解析式y=x^2-2x或
y=x^2+2x

在x≥2时，y随x的增大而增大；在x≤2时，y随x的增大而减小
就是 y=x2-(m-1)x+m2-2m-3平移后,对称轴是x=2

原对称轴x=(m-1)/2

分类讨论一下
1.
m=5 x=(m-1)/2=2 无需平移
2.
m>5 x=(m-1)/2>2 需左平移(m-1)/2-2=m/2-5/2
2.
m<5 x=(m-1)/2<2 需右平移2-(m-1)/2=-m/2+5/2

Answer 2

1. 图像过原点, 0 = 0 - 0 +m^2 -2m -3
(m-3)(m+1) = 0
m =3 或 m=-1
y = x^2 -2x 或 y = x^2 +2x

2. a. y = x^2 -2x = x^2 -2x +1 -1 = (x-1)^2 -1
顶点的x坐标为x = 1, 此函数图像向右平移1个单位, 即可满足要求.
b. y = x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 -1 = (x+1)^2 -1
顶点的x坐标为x = -1, 此函数图像向右平移3个单位, 即可满足要求.

Answer 3

由题X=0时，y=m2-2m-3=0,解得m=3或-1
若m=3 则y=x^2-2x
若m=-1 则y=x^2+2x

若m=3 则y=x^2-2x=(x-1)^2-1
则向右平移1个单位，可使它在x≥2时，y随x的增大而增大；在x≤2时，y随x的增大而减小

若m=-1 则y=x^2+2x=(x+1)^2-1
则向右平移3个单位，可使它在x≥2时，y随x的增大而增大；在x≤2时，y随x的增大而减小