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证 由二项式定理得 (1+x)^n=∑C(k,n)*x^k 所以(1+x)^(2n)= [C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n]*[C(0,n)+C(1,n)*x+...+C(n,n)*x^n] =...+[C(0,n)*C(n,n)+C(1,n)*C(n-1,n)+...+C(n,n)*C(0,n)]x^n+... 也就是说,在(1+x)^(2n)的展开式中,x^n的系数是: ∑C(k,n)*C(n-k,n)=∑[C(k,n)]^2. 另一方面,据二项式定理得: (1+x)^(2n)=∑[C(k,2n)]*x^k. 即x^k的系数为C(n,2n). 由此可得:∑[C(k,n)]^2=C(n,2n).
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泰科博思
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