Question

如何用积分求过椭圆某点的切线与坐标轴的面积及最值

如何用积分求过椭圆某点的切线与坐标轴的面积及最值如下例题。

Answer 1

如何用积分求过椭圆某点的切线与坐标轴的面积及最值
那个坐标轴成了生活不顺遂的一个发泄口，但其实在一路过关斩将中，我早已按照内心的想法，在人生的坐标轴上走出了属于自己的轨迹。

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那个坐标轴，15年后的今天，我还记得很清楚。理综试卷物理部分的这一页只有这一道大题，大题里有两个小问题，旁边就是那个坐标轴。题目要求，算出答案后把粒子的运动状态画在坐标轴上。

高一时物理对我来说简直就是雷区，一不小心就会掉到80分以下，这对门门课都在90分以上的我来说简直是奇耻大辱。在一次答出59分的卷子之后，我决定攻克它。也不知道是努力终于用对了方向还是量变终于等到了质变，高二后，物理成绩奇迹般地“止跌回升”。高考之前的二模、三模考试中，物理已然成了加分项，有时候甚至能拿到满分。

眼前的这道题并没有超出正常的难度范围。具体的计算过程，现在当然已经记不清了，印象中只记得没有一点磕绊地在草稿纸上洋洋洒洒计算了一通，然后得出了一个答案。

然而转头一看，我解出的答案，远超过了坐标轴y轴上的最高点。

6月初的浙江，马上就要进入梅雨季节。那时候的高中教室里没有空调，4个吊扇在头顶上呼呼地晃着，考场里充斥着一股闷热的气氛，这一下，汗顺着额角流了下来。我抬头看了眼手表，时间还够。

再算一遍。

这次不知道是改了哪个步骤还是用了一个别的算法，算出来的数字进入了坐标轴给出的数值范围。应该对了吧，我心里想，毕竟这是高考试卷，不会这么不严谨，下面还有一堆生物题要做呢。我把这个答案画在了坐标轴上，翻到下一部分继续埋头答题。

两天的高考结束后，答案卷就发到了我们手上。我着急地翻到理综部分，找到那道题。

果然，改错了。

现在回想，高考确实给人一种奇怪的压力，也或许是当年我的抗压能力不好，明明考的内容和平时没有本质上的区别，却总有一种惴惴不安的感觉；本来十分确定的内容，却会再给自己加上三个大问号；考完后应该释然的东西，却会让人一直惦记。

那一年的高考，是出分后填报志愿的。早在高一，我就定下了要上北京的志愿，最想上的应该是北外吧。但是分数一出来就知道没戏了，离北外的提档线就差了几分。如果当时没有怀疑自己，如果没有改那道题的答案，如果别理那个坐标轴的高度，冲破它给的限制，按自己一开始算出的答案往上画……

如果，如果！

世间当然没有如果，只有自己知道的惊心动魄那一幕，成了人生路上的宝贵经历。北外虽然没了指望，但是北京还有那么多学校呢！最终，我选择了一所当时刚刚改名还不算大热的大学，因为分数足够，录取专业也是第一志愿。然后，就和大多数人一样，出远门上大学、毕业、就业、辞职、再就业。

尽管如此，当年的那个坐标轴还常常会在脑中闪现，引发的感想一直都在变。在大学里遇到挫折时会想，当年如果没被迷惑，没改答案，分数就够去北外了，那样的话应该就没有这些事了吧；毕业时会想，如果能从北外毕业，应该会更好找工作一些吧；工作后当别人投来不那么信任的目光时会想，如果我今天拿着北外的毕业证，别人应该全心全意相信你绝对是专业高手了吧……

然而人生就是那么巧，当年没去成的大学，后来借着比赛的机会好好参观了一把，发现还没有自己的学校大；这些年在工作中接触了不少我心仪专业的毕业生，从他们的讲述中，也不再感受到当年金光闪闪的吸引力。兜兜转转十几年后，最终我还是在北京落了脚，找到了最适合自己的工作。

回头看时突然发现，自己这么多年纠结的，早就不是当年是否该冲破那个坐标轴给我的限制。即使当年没有改错，未必能被心爱的学校和专业录取，即使这些都达成了，之后的一切也未必会让自己走到今天。那个坐标轴成了生活不顺遂的一个发泄口，但其实在一路过关斩将中，我早已按照内心的想法，在人生的坐标轴上走出了属于自己的轨迹。

Answer 2

该面积=三角形面积-（1/4）个椭圆面积。
设切点（x0,y0）
切线方程
x0x/a²十y0y/b²=1
截距a²/x0,b²/y0
三角形面积=（1/2）a²b²/（x0y0）
所求面积= （1/2）a²b²/（x0y0）-（1/4）πab

追答

仅考虑第一象限，x0y0最大即可
x0y0=x0[√（1-x0² /a²） b² ]
=b√（x0²-x0^4/a²）
x0²=-1/（-2/a²）=a²/2
x0=a/√2时，该面积最小