Question

若x>0,Y>0,且1/x+16/y=1，则x+y的最小值?

Answer 1

条件式应为“1/x+16/y＝1”吧？

方法一（基本不等式法):
(x+y)·1
＝(x+y)(1/x+16/y)
＝17+(16x/y)+(y/x)
≥17+2√[(16x/y)·(y/x)]
＝25，
∴x+y＝25,
∴x+y+1的最小值为26.
此时，16x/y＝y/x且1/x+16/y＝1.
即x＝5,y＝20.

方法二(Cauchy):
1＝1/x+16/y
＝1²/x+4²/y
≥(1+4)²/(x+y)
∴x+y≥15
→1+x+y≥26.
故所求最小值为26，
此时，1/x+16/y＝1且x+y＝25,
解得，x＝5,y＝20。

追问

方法一（基本不等式法):
(x+y)·1
＝(x+y)(1/x+16/y）咋来的？

Answer 2

y+16x=xy
x+y=p
y=p-x
p-x+16x=x(p-x)
x^2+(15-p)x+p=0

(15-p)^2-4p>=0
p^2-34p+225>=0
(p-9)(p-25)>=0
p>=25
p<=9（舍去）