Question

a1,a2,…an是一组n维向量，怎样证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维？

Answer 1

证明:充分性:若任一n维向量a都可以n维向量组a1,a2,…,an线性表示,

那么,特别地,n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示,

又向量组a1,a2,…,an也可由n维单位坐标向量线性表示,

所以,向量组a1,a2,…,an与n维单位坐标向量组等价,

而n维单位坐标向量组是线性无关组,

从而向量组a1,a2,…,an也是线性无关组.

必要性 若n维向量组a1,a2,…,an线性无关,又任意n+1个n维向量必线性相关,

设a是任一n维向量,则向量组a,a1,a2,…,an线性相关,

故a可以由a1,a2,…,an线性表示.

1、因为任意n+1个n维向量一定线性相关，设a是任意一个n维向量，则向量组a,a1.a2…an必线性相关，又n维向量组a1.a2…an线性无关，a都可由他们线性表示。
充分性。

2、若任一n维向量a都可由a1.a2…an线性表示，那么，特别的，n维单位坐标向量组也由他们线性表示。而a1.a2…an必可由n维单位坐标向量组线性表示，故a1.a2…an与n维单位坐标向量组等价，而n维单位坐标向量组线性无关，所以1.a2…an线性无关。

Answer 2

证明 必要性
设a为任一n维向量
因为a1 a2 …… an线性无关
而a1 a2  …… an a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1 a2  …… an线性表示
且表示式是唯一的
充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2  …… an线性表示,
故单位坐标向量组e1 e2  …… en能由a1 a2  …… an线性表示,
于是有n=R(e1 e2  …… en)≤R(a1 a2 ……  an)≤n
即R(a1 a2  …… an)=n
所以a1 a2  …… an线性无关