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解：分享一种解法。
∵原式=∑x^n+(1/2)∑x^(n+1)+(1/3)∑x^(n+2)+……+(1/n)]∑x^(n+k)，其中，k=0,1,2,……,∞、n=1,2,……,∞。
当丨x丨<1时，∑x^(n+k)=(x^n)/(1-x)，∴原式=[1/(1-x)][x+x²/2+x³/3+…+x^n/n+…]。
设S=x+x²/2+x³/3+…+x^n/n+…。当丨x丨<1时，S'=1+x+x²+……=1/(1-x)，
∴S=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。∴原式=[-ln(1-x)]/(1-x)。
供参考。
∵原式=∑x^n+(1/2)∑x^(n+1)+(1/3)∑x^(n+2)+……+(1/n)]∑x^(n+k)，其中，k=0,1,2,……,∞、n=1,2,……,∞。
当丨x丨<1时，∑x^(n+k)=(x^n)/(1-x)，∴原式=[1/(1-x)][x+x²/2+x³/3+…+x^n/n+…]。
设S=x+x²/2+x³/3+…+x^n/n+…。当丨x丨<1时，S'=1+x+x²+……=1/(1-x)，
∴S=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。∴原式=[-ln(1-x)]/(1-x)。
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