Question

大神求解啊！！！实在想不通…考研数学 无穷级数

大神求解啊！！！实在想不通…考研数学 无穷级数实在做不出来 图一是题目 图二是答案 不知道为什么会想到这么做 而且按照答案的方法我做出来结果是4/π
希望大神给解释一下

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Answer 1

分享一种解法【方法同书中的思路一样，但比它简单】。∵[arctanx]'=1/(1+x²)，当丨x²丨<1时，1/(1+x²)=∑(-x²)^n=∑[(-1)^n]x^(2n)，
∴arctanx=∫(0,x)∑[(-1)^n]x^(2n)dx=∑[(-1)^n]∫(0,x)x^(2n)dx=∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)。
又，x=1时，∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)=∑[(-1)^n]/(2n+1)，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴其收敛域为x∈(-1,1]。
∴令x=1，∑[(-1)^n]/(2n+1)=arctan1=π/4。∴∑[(-1)^(n+1)]/(2n+1)=-arctan1=-π/4。
供参考。

追问

懂了！谢谢

Answer 2

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