大神求解啊！！！实在想不通…考研数学 无穷级数
大神求解啊！！！实在想不通…考研数学无穷级数实在做不出来图一是题目图二是答案不知道为什么会想到这么做而且按照答案的方法我做出来结果是4/π希望大神给解释一下...
大神求解啊！！！实在想不通…考研数学 无穷级数实在做不出来 图一是题目 图二是答案 不知道为什么会想到这么做 而且按照答案的方法我做出来结果是4/π
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分享一种解法【方法同书中的思路一样，但比它简单】。∵[arctanx]'=1/(1+x²)，当丨x²丨<1时，1/(1+x²)=∑(-x²)^n=∑[(-1)^n]x^(2n)，
∴arctanx=∫(0,x)∑[(-1)^n]x^(2n)dx=∑[(-1)^n]∫(0,x)x^(2n)dx=∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)。
又，x=1时，∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)=∑[(-1)^n]/(2n+1)，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴其收敛域为x∈(-1,1]。
∴令x=1，∑[(-1)^n]/(2n+1)=arctan1=π/4。∴∑[(-1)^(n+1)]/(2n+1)=-arctan1=-π/4。
供参考。
∴arctanx=∫(0,x)∑[(-1)^n]x^(2n)dx=∑[(-1)^n]∫(0,x)x^(2n)dx=∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)。
又，x=1时，∑[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)=∑[(-1)^n]/(2n+1)，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。∴其收敛域为x∈(-1,1]。
∴令x=1，∑[(-1)^n]/(2n+1)=arctan1=π/4。∴∑[(-1)^(n+1)]/(2n+1)=-arctan1=-π/4。
供参考。
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