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C是正确的，因为x→0时，如果f(x)不趋于0，那么f(x)/x这个极限就是∞，和题设极限存在矛盾了，所以x→0，f(x)→0，又因为f(x)连续，所以f(0)=0。
D可以容易举出反例，比如f(x)=|x|，对于所给极限是存在的且为0，但f'(0)不存在。
D可以容易举出反例，比如f(x)=|x|，对于所给极限是存在的且为0，但f'(0)不存在。
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