Question

随机变量数字特征的如何求乘除法的数学期望和方差？

如图，求详细过程

Answer 1

【计算过程中，设A=1/√(2π)】(1)，∵X~N(0,1)、Y~N(0,1)，且X、Y相互独立，∴X、Y的联合分布密度函数f(x,y)=A²e^(-x²/2-y²/2)。
按照一维随机变量期望值的定义E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)dx，仿此，E[x²/(x²+y²)]=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)x²f(x,y)dxdy/(x²+y²)=A²∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)x²e^(-x²/2-y²/2)dxdy/(x²+y²)。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴E[x²/(x²+y²)]=A²∫(0,2π)cos²θdθ∫(0,∞)ρe^(-ρ²/2)dρ=1/2。
(2)，点(x,y)到原点O(0,0)的距离Z=√(x²+y²)。仿(1)的过程，X、Y的联合分布密度函数f(x,y)=(A/δ)²e^(-x²/2δ²-y²/2δ²)。∴E(Z)=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)√(x²+y²)f(x,y)dxdy。同样，设x=ρcos θ，y=ρsinθ，∴E[√(x²+y²)]=2π(A/δ)²δ³Γ(3/2)=(δ/2)/√(2π)。
供参考。

追问

用极坐标E[√(x²+y²)]=2π(A/δ)²δ³Γ(3/2)=(δ/2)/√(2π)，δ和Γ是怎么来的？

追答

详细过程是，E(Z)=∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)√(x²+y²)f(x,y)dxdy=(A/δ)²∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)√(x²+y²)e^(-x²/2δ²-y²/2δ²)dxdy。
设x=ρcos θ，y=ρsinθ，∴E[√(x²+y²)]=(A/δ)²∫(0,2π)dθ∫(0,∞)ρ²e^(-ρ²/2δ²)dρ。
对∫(0,∞)ρ²e^(-ρ²/2δ²)dρ，设ρ²=2δ²t、利用伽玛函数【Γ(α)】可得，∫(0,∞)ρ²e^(-ρ²/2δ²)dρ=(√2)δ³∫(0,∞)(√t)e^(-t)dt=(√2)δ³Γ(3/2)=[√(2π)]δ³/2【另外，这一步也可以设ρ=δt、利用标准正态分布N(0,1)的密度函数的性质，得出】。
∴E(Z)=(A/δ)²∫(0,2π)dθ=2π(A/δ)²δ³Γ(3/2)=(δ/2)√(2π)。

Answer 2

第10题的题目就已经不符合吃鸡规律。
1.原点在哪？地图中心？
2.就算原点是地图中心，不能用正态分布，正态分布是离中心越远概率越小，可是地图以原点为圆心，画出的圆越大，说明面积越大，所以概率越高，所以不能用正态分布。

追问

就问个题目，就问你用定义如何算数学期望

追答

数量×概率。