Question

高二数学圆锥曲线

已知圆A：（x+3)2+y2=100,圆A内一定点B（3，0），动圆P过B点且与圆A内切，求证圆心P的轨迹是椭圆。

若一个动点P到两定点F1（-1,0),F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0），试讨论P的轨迹

Answer 1

1)已知圆是圆心在A(-3,0)半径R=10的圆，
设动圆方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，故其圆心为动点，设为C(a,b)
则由相切条件：AC=(a+3)²+b²=(10-r)² ①
由B(3,0)在动圆上：(3-a)²+b²=r² ②
①-② 得 (a+3)²-(a-3)²=(10-r)²-r²
整理得 12a=100-20r
由此可得 r=5-(3/5)a ③
把③代入②得 (a-3)²+b²=[5-(3/5)a]²
整理得 a²/25+b²/16=1
这表明动圆圆心C(a,b)的轨迹是椭圆。

2)①若0<a<1，即0<2a<|F1F2|，则PF1F2能成为三角形，P的轨迹是双曲线
其焦距2c=2,参数b²=c²-a²=1-a²
故该双曲线方程为
x²/a²-y²/(1-a²)=1
②若a>1,则不存在与F1、F2距离之差的绝对值为定值a的点，这样的动点P的轨迹也不存在。