Question

已知f(x)是定义与在(0，+∞）上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1

求证f(8)=3 球不等式f(x)-f(x-2)>3的解集

Answer 1

f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=1+1=2
f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=1+2=3...ans
f(x)=f(x*1)=f(x)+f(1)=>f(1)=0
f(x)>f(x-2)+3=f(x-2)+f(8)=f(8*(x-2))但在(0，+∞）上的增函数
=>x>8*(x-2)=> x>8x-16 =>16>7x => x<16/7 => 0<x<16/7...ans

Answer 2

f(xy)=f(x)+f(y)
f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2
f(8)=f(2)+f(4)=1+2=3

f(x)-f(x-2)>3则f(x)>3+f(x-2)
又f(x)在(0，+∞）上是增函数且f(xy)=f(x)+f(y)
f(8)=3
则f(x)>f(8)+f(x-2)
x>8(x-2)
得x<16/2
又x在(0，+∞），则x的解集是（0，16/2)