Question

一道初中题数学题求解。

Answer 1

超脑力为你解答
题目：
定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线。

(1)如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；
(2)如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；
(3)如图3,等腰△AOB的顶点O与原点重合,底边OB在x轴上,反比例函数y=kx(x>0)的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长。
考点：
反比例函数综合题
分析：
（1）由逆等线的性质可求得CF和AE，由条件可求得AF，在Rt△AEF中，由勾股定理可求得EF的长；
（2）连接AD，可证明△EDA≌△FDC，可求得AE=CF，可证得结论；
（3）可设OF=x，则可表示出DF，作AG⊥OB，CH⊥AG，可证明△ACH≌△DBF，可用x表示出EG，再利用△ACH∽△COE，可求得OF的长．
解答：

(1)∵EF是等腰△ABC的逆等线，
∴CF=AE=2，又AB=AC=5，
∴AF=3，
∵EF⊥AB，
∴EF=32−22−−−−−−√=5√；

(2)连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，

∴AD=CD且∠ADC=90∘，
又∵DE=DF且∠EDF=90∘，
∴∠EDA=90∘−∠ADF=∠FDC，
在△EDA和△FDC中
⎧⎩⎨⎪⎪AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF
∴△EDA≌△FDC(SAS)，
∴AE=CF，
∴EF为等腰△ABC的逆等线；

(3)如图3,设OF=x,则DF=kx，
作AG⊥OB，CH⊥AG，

∵CD为△AOB的逆等线，
∴AC=BD，又∠ACH=∠AOB=∠DBF，
且∠AHC=∠AGO=∠DFB，
在△ACH和△DBF中
⎧⎩⎨⎪⎪∠ACH=∠DBF∠AHC=∠DFBAC=BD
∴△ACH≌△DBF(AAS)，
则EG=CH=BF，AH=DF，
又AO=AB，且AG⊥OB，
∴OG=BG，
∴GF=BG−BF=OG−EG=OE，
∴EG=x−2−2=x−4，
∵△ACH∽△COE，
∴OECH=CEAH,即2k2=x−4kx,化简得x2−4x−4=0,解得x=22√+2或x=2−22√(舍去)，
∴OF=22√+2.
希望可以帮到你