Question

高中数学，函数问题

求详细过程

Answer 1

1. f(x)=ln[x/(x+1)]+a/(x+1) x>0

   f'(x)=1/x-1/(x+1)-a/(x+1)²=[(x+1)²-x(x+1)-ax]/[x(x+1)²]

   显然分母>0

   分子(1-a)x+1:

   a≤1时，分子≥0→f'(x)>0→单调递增区间x∈(0,+∞)

   a>1时 驻点x=1/(a-1) 左+右- 为极大值点→单调递增区间x∈(0,1/(a-1))、单调递减区间x∈(1/(a-1),+∞)

2. 不等式右边：(x+1)lnx-(x+1)ln(x+1)+a

   令g(x)=(x+1)ln(x+1)+a(x+1)²=(x+1)[ln(x+1)+a(x+1)]   x>0

   再令h(x)=ln(x+1)+a(x+1) x>0

   a≥0时，显然h(x)>0→g(x)=(x+1)h(x)>0→不等式恒不成立

   a<0时，

   h'(x)=1/(x+1)+a 驻点x₀=-1-1/a 左+右-为极大值点

   a≤-1时 x₀≤0定义域在驻点右侧 h(x)单调递减 h(x)<h(0)=a<0→g(x)=(x+1)h(x)<0不等式恒成立

   -1<a<0时 极大值=-ln(-a)+1 当-ln(-a)-1≤0时→a≤-1/e时 h(x)≤0→g(x)=(x+1)h(x)≤0不等式恒成立

   综上a≤-1/e