函数在x点左右导数存在,则一定连续吗?
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该点有定义,则为正确。当左右导数不相等的时候也可以连续。比如y=|x|在x=0这一点,答案是肯定的。是正确的。
(因为单边导数要求该点和单边邻域连续,而左右导都存在,故两边连续。可严格用N-以普西龙语言证明)。
若该点无定义,则为假命题。依然上述函数,x=0点无定义,则为假。
不一定,必须保证在左右导数存在并且相等的情况下,该函数才连续。
左右导数都存在 左导数存在:lim(Δx->-0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=A f(x0-0)=f(x0) 右导数存在:lim(Δx->+0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=B f(x0+0)=f(x0) lim(x->x0)f(x)=f(x0) 【函数在某点的左右导数都存在,则在该点连续】。
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对
例如f(x)在x0处左右导数分别为m和n
【m与n可能不相等且|m|,|n|<+∞】
设dx趋近于0+
则可以认为f(x0-dx)-f(x0)~mdx
f(x0+dx)-f(x0)~ndx
由于mdx,ndx均趋向于0
故连续
例如f(x)在x0处左右导数分别为m和n
【m与n可能不相等且|m|,|n|<+∞】
设dx趋近于0+
则可以认为f(x0-dx)-f(x0)~mdx
f(x0+dx)-f(x0)~ndx
由于mdx,ndx均趋向于0
故连续
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