Question

函数在x点左右导数存在，则一定连续吗？

Answer 1

一定连续。

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   这个人的回答（如下图）是错误的。

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• 正确的解释是：

  既然一点的左/右导数存在，由单侧导数定义知，那么就已经默认该点是有定义的，即f(x。)存在.    你可以看看单侧导数的定义（以右导数为例）：

右导数的定义

当x趋向于x。时，上式的分母趋向于0，已知右导数存在，必然要求分子也趋向于0.

也即f(x)在x。处右连续。同理，f(x)在x。处左导数存在时，左连续。

所以，X。左右导数存在时，函数左连续右连续，且 既然左右导数存在，则f（x。）一定存在，所以函数在x点左右导数存在，则一定在该点连续

Answer 2

一定连续，详情如图所示

Answer 3

该点有定义，则为正确。当左右导数不相等的时候也可以连续。比如y=|x|在x=0这一点，答案是肯定的。是正确的。

（因为单边导数要求该点和单边邻域连续，而左右导都存在，故两边连续。可严格用N-以普西龙语言证明）。

若该点无定义，则为假命题。依然上述函数，x=0点无定义，则为假。

不一定，必须保证在左右导数存在并且相等的情况下，该函数才连续。

左右导数都存在 左导数存在：lim（Δx->-0）[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=A f(x0-0)=f(x0) 右导数存在：lim（Δx->+0）[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=B f(x0+0)=f(x0) lim(x->x0)f(x)=f(x0) 【函数在某点的左右导数都存在，则在该点连续】。

Answer 4

对
例如f(x)在x0处左右导数分别为m和n
【m与n可能不相等且|m|,|n|<+∞】
设dx趋近于0+
则可以认为f(x0-dx)-f(x0)~mdx
f(x0+dx)-f(x0)~ndx
由于mdx,ndx均趋向于0
故连续