Question

变限积分（定积分）求导的概念问题。很简单，如下我的疑问，两个例题如图

积分上限函数的导数两种情况：问1：上限为某一变量x，下限为某一常量a，假定f(t)的原函数为F(t)，则上述变上限积分就等于F(x)-F(a)，该积分显然是x的函数，其中F(a)为常数。现在对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导，很明显等于f(x)。问2：如果积分上限为x的某一函数g(x)，则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a)，对其求导就得到f[g(x)]g'(x)。这两种情况怎么区分的，一个求导直接=f（x）。。另一个求导是等于f（x）x’-f（a）a'。怎么区分。

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Answer 1

首先，关于你的两个表述，是正确的，没有问题！
也就是求导时，如果变积分限是函数时，需要当做复合函数求导来对待，也就是还需要对积分限函数求导。

对于你上面的第二题，属于积分表达式中有积分限上的变量。这个变量相对于积分时为常量，所以，可以直接剥离出来，作为常数提到积分外。对求导时，其则为变量！也需要对其求导。
如本题
sinx(t-x)=sintcosx-costsinx
积分：
=∫(sintcosx-costsinx)dt
=cosx∫sintdt-sinx∫costdt
然后求导
=-sinx∫sintdt+cosxsinx-cosx∫costdt-sinxcosx
=-sinx∫sintdt-cosx∫costdt

这类题，就是要清楚里面的量对积分变量和求导分别是什么。如果是常量，就剥离。否则，直接带入。然后再求导！

Answer 2