设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0?
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=f(ξ)?...
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=f(ξ)?
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令g(x)=e^x*f(x),则g(x)在[a,b]上连续且在(a,b)上可导
因为g(a)=g(b)=0,所以根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0
e^ξ*f(ξ)+e^ξ*f'(ξ)=0
f(ξ)+f'(ξ)=0
证毕
因为g(a)=g(b)=0,所以根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0
e^ξ*f(ξ)+e^ξ*f'(ξ)=0
f(ξ)+f'(ξ)=0
证毕
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利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx,则根据条件可知:
f(x),g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件,
∴在(a,b)上存在ξ,使得:
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即:[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得:f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)
设g(x)=lnx,则根据条件可知:
f(x),g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件,
∴在(a,b)上存在ξ,使得:
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即:[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得:f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)
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