Question

f（x）=cos²（x-π／6）-sin²x 1、求f（π／12）的值

Answer 1

f(x)=cos²(x-π／6)-sin²x
；1、求f(π/12)的值；2、若对于任意的x∈[0,π/2],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围
解：1、f(π/12)=cos²(π/12-π/6)-sin²(π/12)=cos²(-π/12)-sin²(π/12)=cos²(π/12)-sin²(π/12)
=cos(π/6)=(√3)/2.
2、f(x)=[(√3/2)cosx+(1/2)sinx]²-sin²x=(3/4)cos²x+(√3/2)sinxcosx+(1/4)sin²x-sin²x
=(3/4)(cos²x-sin²x)+(√3/4)sin2x=(3/4)cos2x+(√3/4)sin2x=(√3/4)[(√3)cos2x+sin2x]
=(√3/2)[(√3/2)cos2x+(1/2)sin2x]=(√3/2)[cos2xcos(π/6)+sin2xsin(π/6)]
=(√3/2)cos(2x-π/6)≦(√3)/2；故c≧(√3)/2，这就是c的取值范围。

Answer 2

(1)
f(x)=sin(x-π/6)+cos(x-π/3),g(x)=2sin²x/2
f(x)=sinxcosπ/6-cosxsinπ/6+cosxcosπ/3+sinxsinπ/3
=√3sinx
∴f(α)=√3sinα=3√3/5
∴sinα=3/5
∵α是第一象限角
∴cosα=4/5
∴sin²α/2=(1-cosα)/2=1/5
∴g(α)=2sin²α/2=2/5
(2)
f(x)≥g(x)即√3sinx≥2sin²x/2
即√3sinx≥1-cosx
∴√sinx+cosx≥1
两边同时除以2
√3/2sinx+1/2cosx≥1/2
即sin(x+π/6)≥1/2
∴2kπ+π/6≤x+π/6≤2kπ+5π/6
∴x集合为{x}2kπ≤x≤2kπ+2π/3,k∈z}