Question

高等数学求解答

请问这个题目用球面坐标系来算应该怎么做？这个球面坐标系中r的范围怎么确定？

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Answer 1

采用柱坐标，得
I = ∫∫∫<Ω>(x^2+y^2)dv = ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>r^2·rdr∫<0, 1-r^2>dz
= ∫<0, 2π>dt∫<0, 1>r^3(1-r^2)dr = 2π[r^4/4-r^6/6]<0, 1> = π/6

追问

请问这个题目不能用球面坐标系做吗？

追答

理论上也应该可以用球面坐标系，但太过于麻烦。

z = 1-x^2-y^2, x^2+y^2+z -1 = 0, r^2(sinφ)^2+rcosφ-1 = 0
r(φ) = √[(cosφ)^2+4(sinφ)^2]/[2(sinφ)^2] = √[1+3(sinφ)^2]/[2(sinφ)^2]
则 I = ∫∫∫(x^2+y^2)dv
= ∫dφ∫dt∫ r^2(sinφ)^2·r^2sinφdr
= 2π∫(sinφ)^3dφ∫ r^4dr
= (2π/5)∫(sinφ)^3[1+3(sinφ)^2]^(5/2)/[32(sinφ)^10]dφ
= (π/80)∫{[1+3(sinφ)^2]^(5/2)/(sinφ)^7}dφ = ......