Question

二重积分的一道题，设积分区域D为:x2+y2≤4y,则dxdy=？

答案显示是4π。。不是4πy吗。那里有个y

Answer 1

∫∫dxdy=4π

计算过程如下：

x^2+y^2=4y

=>x^2+(y-2)^2

=4

∫∫dxdy=D的面积

=π*2^2

=4π

二重积分的意义：

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

x^2+y^2 ≤ 4y 即 x^2+(y-2)^2 = 4, 为半径2的圆，则dxdy就是圆的面积，也就是dxdy=2^2*π=4π。

二重积分常见的方法包括：

（1）利用直角坐标计算（关键在于根据被积函数和积分区域的特点选择积分次序并确定积分限）；

（2）利用极坐标计算（关键仍是积分限的确定）；

（3）利用对称性（或轮换对称性）化简积分；

（4）利用对积分区域的可加性“分块”计算；

（5）利用几何意义（立体体积或平面图形面积）；

（6）利用二重积分的换元公式。

扩展资料：

注意在二重积分的定义中，对区域D的划分是任意的，在直角坐标系中，如果用平行于坐标轴的“直线网”来划分D，这时小区域的面积do=dxdy，因此二重积分可表示为∫f（x，y）dxdy，其中dxdy称为“直角坐标系中的面积元素”。

时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

Answer 3

把4y移过来，和y^2配方得到(y-2)^2，而不等式右边出现4，这样不等式才能保持不变。这样就变成了原点在(0,2)，半径为2的圆了，求dxdy其实是求面积， 这个圆的面积就是4pi.

Answer 4

x^2+y^2 ≤ 4y 即 x^2+(y-2)^2 = 4, 是半径为 2 的圆， 面积 σ = 4π
故 ∫<D>dxdy = σ = 4π

追问

谢谢