Question

圈出来的1，3题怎么做 求详细过程

Answer 1

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数{\displaystyle f(x)}满足

• 在闭区间{\displaystyle [a,b]}上连续；

• 在开区间{\displaystyle (a,b)}内可导；

• 在区间端点处的函数值相等，即{\displaystyle f(a)=f(b)}，

那么在{\displaystyle (a,b)}内至少有一点{\displaystyle \xi (a<\xi <b)}，使得{\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}。

第一题：不满足，比如说 a = -1/3, b = 1/2，但是找不到 \xi满足 {\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}. 这个函数连续但 不光滑，也就是不处处可导，在 x = 0时 左极限导数 和 右极限导数不一样，所以x=0处不可导。

第三题：首先 arccos(x)和arcsin(x)都是在实数域的连续函数，因此 arccos(x) + arcsin(x) 也是连续函数。

f(x) = arccos(x)+arcsin(x),

求导得：f'(x) = - 1/sqrt(1-x^2) + 1/sqrt(1-x^2) = 0

因此可知 f(x) =  arccos(x)+arcsin(x) = 常数

代入，比如 x = 0, 可得 这个常数就是 pi / 2