Question

求不定积分lnx/x^2 dx

Answer 1

∫ lnx/x² dx，首先将1/x²推进d里，这是积分过程

= ∫ lnx d(- 1/x)，然后互调函数位置

= - (lnx)/x + ∫ 1/x d(lnx)，将lnx从d里拉出来，这是微分过程

= - (lnx)/x + ∫ 1/x * 1/x dx

= - (lnx)/x + ∫ 1/x² dx

= - (lnx)/x - 1/x + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

Answer 3

运用分部积分法可解：
∫ lnx/x² dx，首先将1/x²推进d里，这是积分过程
= ∫ lnx d(- 1/x)，然后互调函数位置
= - (lnx)/x + ∫ 1/x d(lnx)，将lnx从d里拉出来，这是微分过程
= - (lnx)/x + ∫ 1/x * 1/x dx
= - (lnx)/x + ∫ 1/x² dx
= - (lnx)/x - 1/x + C

Answer 4

解：[x*lnx/x^2]'=[lnx/x]'=(x/x-lnx)/x^2=1/x^2-lnx/x^2, lnx/x^2=1/x^2-[lnx/x^2]'
原式=-lnx/x+∫dx/x^2=-lnx/x-1/x+C=-(1+lnx)/x+C。

Answer 5

原式=-∫lnxd(1/x) =-lnx*1/x+∫1/x*dlnx 【分部积分】
=-lnx/x+∫1/x² dx
=-lnx/x-1/x+C
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