Question

已知A是n阶方阵，a1,a2,a3为n维列向量，且a1≠0，Aa1=a1, Aa2=a1+a2, Aa3= a2+a3,求证a1，a2，a3线性无关

Answer 1

a1≠0，｛a1｝线性无关。

①证明｛a1,a2｝线性无关:假如｛a1,a2｝线性相关。a2＝ka1.

Aa2＝Aka1＝kAa1＝ka1＝a1+a2＝（1+k）a1,a1≠0,k＝1+k,不可。

∴｛a1,a2｝线性无关。

②证明｛a1,a2，a3｝线性无关:假如｛a1,a2,a3｝线性相关.

则a3＝ka1+ha2[无关相关表示定理]

Aa3＝a2+a3＝A（ka1+ha2）＝ka1+ha1+ha2.

a3＝（k+h）a1+（h-1）a2＝ka1+ha2,∵｛a1,a2｝线性无关。

∴k+h＝k.h-1＝h,得到-1＝0。不可。∴｛a1,a2，a3｝线性无关。