Question

(x+2y) y ́=y-2x ,y(1)=1

求特解

Answer 1

设y=tx,则y'=xt'+t,
(x+2y) y ́=y-2x ①变为
(x+2tx)(xt'+t)=tx-2x,
所以xt'+t=(t-2)/(1+2t),
xt'=(-2-2t^2)/(1+2t),
分离变量得(2t+1)dt/(t^2+1)=-2dx/x,
积分得ln(t^2+1)+arctant=-2lnx+c,
即ln(y^2/x^2+1)+arctan(y/x)=-2lnx+c.
y(1)=1,

所以c=ln2+π/4，
所以ln(y^2/x^2+1)+arctan(y/x)=-2lnx+ln2+π/4，为所求。