Question

泰勒公式，带有拉格朗日型余项的泰勒公式，带有佩亚诺余项的泰勒公式哪个和原函数没有误差?

Answer 1

泰勒公式的本质是用多项式去近似一个不太好算的函数
它的余项其实就是估计的误差
对于佩亚诺余项，它无法给出一个大概的估计值，只知道它是趋向于0的
而对于拉格朗日余项，它可以给出一个大概的估计值
比如对e^x这个函数
它的近似多项式是1+x+x^2/2+x^3/3!+...+x^n/n!
取x=1来估计e的取值
这时的拉格朗日余项是e^c/(n+1)!其中c是一个大于0小于1的常数
可以知道这个拉格朗日余项是小于3/(n+1)!
于是对于e，可以给出对于在任何精度下的估计值，而佩亚诺余项是做不到的