高等数学,定积分,证明?

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承元驹0g7
2019-12-02 · TA获得超过2816个赞
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(sinx)^n(cosx)^n=(sinxcosx)^n=2^(-n)(2sinxcosx)^n=2^(-n)(sin2x)^n
则∫(sinx)^n(cosx)^ndx=∫2^(-n)(sin2x)^ndx
凑微分
2^(-n-1)∫(sin2x)^nd2x
令t=2x, 则积分区间变为:
x=0, t=0,
x=π/2, t=π
所以,原式=2^(-n-1)∫(0,π)(sint)^ndt
=∫(0,π)sint^ndt=∫(0,π/2)sint^ndt+∫(π/2,π)sint^ndt
对第2个积分,设xt=π-m ,则dt=-dm
t积分区间:π/2,到π,
m从π/2,到0, 于是:
∫(π/2,π)sint^ndx=-∫(π/2,0)sin(π-m)^ndm=∫(0,π/2)sinm^ndm=∫(0,π/2)sinm^ndm
所以:
∫(0,π)sint^ndt=2∫(0,π/2)sint^ndt
所以:∫(0, π/2)(sinx)^n(cosx)^ndx=2∫(0,π/2)2^(-n)(sin2x)^ndx
crs0723
2020-01-02 · TA获得超过2.5万个赞
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F(x)=[∫(a,x)f(t)dt]/(x-a)
F'(x)=[(x-a)f(x)-∫(a,x)f(t)dt]/(x-a)^2
=[(x-a)f(x)-(x-a)f(ξ)]/(x-a)^2,其中ξ∈(a,x)
=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
因为f(x)在[a,b]上单调递增,所以f(x)>f(ξ)
即F'(x)>0,F(x)在(a,b]上单调递增
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flybear66
2019-12-02 · TA获得超过3239个赞
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因为f(x)在[a, b]上单调递增,所以f(x)在[a, b]上f'(x)>0
在区间(a,b]上,有F‘(x) = f'(x)>0, 所以F(x) 在区间(a,b]上单调递增
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