Question

高等数学，定积分，证明？

求解

Answer 1

(sinx)^n(cosx)^n=(sinxcosx)^n=2^(-n)(2sinxcosx)^n=2^(-n)(sin2x)^n
则∫(sinx)^n(cosx)^ndx=∫2^(-n)(sin2x)^ndx
凑微分
2^(-n-1)∫(sin2x)^nd2x
令t=2x， 则积分区间变为：
x=0, t=0,
x=π/2, t=π
所以，原式=2^(-n-1)∫(0,π)(sint)^ndt
=∫(0,π)sint^ndt=∫(0,π/2)sint^ndt+∫(π/2,π)sint^ndt
对第2个积分,设xt=π-m ,则dt=-dm
t积分区间：π/2,到π,
m从π/2,到0, 于是：
∫(π/2,π)sint^ndx=-∫(π/2,0)sin(π-m)^ndm=∫(0,π/2)sinm^ndm=∫(0,π/2)sinm^ndm
所以：
∫(0,π)sint^ndt=2∫(0,π/2)sint^ndt
所以：∫（0, π/2）(sinx)^n(cosx)^ndx=2∫(0,π/2)2^(-n)(sin2x)^ndx

Answer 2

F(x)=[∫(a,x)f(t)dt]/(x-a)
F'(x)=[(x-a)f(x)-∫(a,x)f(t)dt]/(x-a)^2
=[(x-a)f(x)-(x-a)f(ξ)]/(x-a)^2，其中ξ∈(a,x)
=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
因为f(x)在[a,b]上单调递增，所以f(x)>f(ξ)
即F'(x)>0，F(x)在(a,b]上单调递增

Answer 3

因为f(x)在[a, b]上单调递增，所以f(x)在[a, b]上f'(x)>0
在区间(a,b]上，有F‘(x) = f'(x)>0, 所以F(x) 在区间(a,b]上单调递增