Question

将函数f(x)=x(0≤x≤π)分别展开成正弦级级数和余弦级级数。

Answer 1

先看展成正弦级数，先把f(x)延拓到区间(1,2],使得f(x)=2-x,x∈(1,2]
再把f(x)奇性延拓到区间[-2,0)上，使得f(x)=-f(-x),x∈[-2,0)
最后再把f(x)以周期为4延拓到整个实轴上去，令x=2t/π，记g(t)=f(x)=f(2t/π)
则g(t)是周期为2π的奇函数，所以an=0
bn=(∫(-π,π)g(t)sin(nt)dt)/π=(2/π)(∫(0,π)g(t)sin(nt)dt
=[8sin(nπ/2)]/(nπ)²，n=1,2,3....
即g(t)=∑bn(sin(nt))=>f(x)=g(t)=∑bn(sin(nt))=∑bn(sin(nπx/2))，x∈[0,1]

再看展成余弦级数，先把f(x)偶性延拓到区间[-1,0)上，使得f(x)=f(-x),x∈[-1,0)
最后再把f(x)以周期为2延拓到整个实轴上去，令x=t/π，记g(t)=f(x)=f(t/π)
则g(t)是周期为2π的偶函数，所以bn=0
an=(∫(-π，π)g(t)cos(nt)dt)/π=(2/π)(∫(0,π)g(t)cos(nt)dt
=2[(-1)^n-1]/(nπ)²，n=1,2,3.... 而a0=(2/π)(∫(0,π)g(t)cos(nt)dt=1
即g(t)=a0/2+∑an(cos(nt))=>f(x)=g(t)=1/2+∑an(cos(nt))=1/2+∑an(cos(nπx))
=1/2-4∑(cos(2n-1)πx)/[(2n-1)π]²，x∈[0,1]

以上∑都是n从1到∞求和

追问

要在[-π,π]上做延拓。

要在[-π,π]上做延拓。

Answer 2

　　只做后者：先视同把函数 f(x) 在 [-π,π] 上延拓成偶函数（不必真做），要将其展开成余弦级数，先求傅里叶系数
　　　a(0) = (2/π)∫[0,π]xdx = (2/π)(π²/2) = π，
　　　a(n) = (2/π)∫[0,π]xcosnxdx = ……，n≥1，
　　　b(n) = 0，n≥1，
所以，又 f(x) 周期延拓后是连续函数，故 f(x) 在 [-π,π] 上的傅里叶级数（余弦级数）为
　　　f(x) = π/2+(2/π)∑(n≥1)a(n)cosnx = ……，
（省略处留给你）

追问

~~~我正想知道的就是省略处的怎么求。

追答

　　第一个 “……” 是计算定积分，该会吧？
　　第二个 “……” 是把前面算出来的代进去写出来，一点没难度，所以才留给你的。
　　教材上有现成的例题，翻翻书，依样画葫芦即可。
　　做习题是学生的义务，学数学的关键在 “做”。先认真听课，把老师课上讲的或教材上的定理、例题都 “做” 懂，接着再 “做" 习题，这才是正确的学习之道。