Question

求教一道高数题

请问第三题答案划蓝线的部分是怎么得出来的？
先谢谢各位的解答🙏

Answer 1

∫(0->1 ) (sinxt)^2 dt
=(1/2) ∫(0->1 ) (1- cos2xt) dt
=(1/2) [ t - (1/(2x))sin2xt ] |(0->1)
=(1/2) ( 1 - (1/(2x))sin2x )
= 1/2 - sin2x/(4x)
d/dx [∫(0->1 ) (sinxt)^2 dt]

=d/dx { 1/2 - sin2x/(4x) }
= (1/4)[ ( 2xcos2x - sin2x)/x^2 ]

Answer 2

换元，令y=xt，则dy=xdt也就是dt=(dy)/x
积分范围由[0,1]变为[0,x]
原式
=d[(∫sin²y dy)/x]/dx （积分范围[0,x]）
再令y=t
=d[(∫sin²t dt)/x]/dx（积分范围[0,x]）
剩下步骤见图

追答