Question

关于微分中值定理的一道题。

函数f(x)定义在闭区间[a,b]上，且在(a,b)上可导。
求证：对于任意正整数n，存在实数ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=f'(ξ)(b-ξ)/n成立。

Answer 1

题目有问题
比如 f(x) = x , a =1, b = 2 , 则 n>=2时，就找不到满足题意的实数ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=f'(ξ)(b-ξ)/n成立。

少了条件 f(a)=0
加上 f(a)=0 ，构造函数 g(x) = (x-b)^n*f(x)
则 g(x)满足g(a)=g(b)=0,且在(a,b)上可导，
由中值定理知，存在实数ξ∈(a,b)，使得 g'(ξ)=0，即n(ξ-b)^(n-1)*f(ξ)+(ξ-b)^n*f'(ξ)=0
整理即得结论。