Question

求问一道线性代数题，为什么β不能用αm-1向量组线性表出时会有解法二第二行这个结论呢？

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Answer 1

这很显然啊，如果beta不能由a1,a2,...,a(m-1)表示，设(a1,a2,...,ak)是a1,a2,...,a(m-1)的一个极大线性无关组，如果r(a1,a2,...,a(m-1))=r(a1,a2,...,a(m-1),beta)，则a1,a2,...,a(m-1),beta线性相关，存在不全为0的系数使得
c1 a1+c2a2+...+ckak +c * beta =0
如果c=0,由于a1,a2,...,a(m-1)线性无关，则c1=c2=ck=0和系数不全为0矛盾
如果c不等于0，则beta = c1/c a1 +c2/c a2 +...+ck/c ak，和beta不能由他们线性表示矛盾
所以命题成立