Question

求幂级数2nx^2n-1当x绝对值小于1的和函数

Answer 1

= [-1+1/(1-x^2)]' = 2x/(1-x^2)^2, |x| < 1

S(x) = ∑<n=1,∞>2nx^(2n-1), |x| < 1, S(0) = 0

S(x) = [∫<0, x> S(t)dt - S(0)]' = ∫<0, x> ∑<n=1,∞>2nt^(2n-1)dt

= ∑<n=1,∞>∫<0, x> 2nt^(2n-1)dt

= [∑<n=1,∞>x^(2n)]' = [x^2/(1-x^2)]'

= [-1+1/(1-x^2)]' = 2x/(1-x^2)^2, |x| < 1

函数的特性

1、有界性

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

2、单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

Answer 2

大概是这样子的

Answer 3

S(x) = ∑<n=1,∞>2nx^(2n-1), |x| < 1, S(0) = 0
S(x) = [∫<0, x> S(t)dt - S(0)]' = ∫<0, x> ∑<n=1,∞>2nt^(2n-1)dt
= ∑<n=1,∞>∫<0, x> 2nt^(2n-1)dt
= [∑<n=1,∞>x^(2n)]' = [x^2/(1-x^2)]'
= [-1+1/(1-x^2)]' = 2x/(1-x^2)^2, |x| < 1

Answer 4

就先这样，再那样就可以了。答案是2x/（1-x^2）^2

Answer 5

详情如图所示

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