离散数学群论，G是一个群，H是G的一个子群，H仅有2个相异的左陪集，求证H是一个正规子群。
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这是一个很经典的群论习题，也不难。
H只有两个左陪集：H和gH
那么G=H ∪ gH，而且|H|=|G|/2，所以H也只能有两个右陪集：H和Hg'
而且G=H ∪ Hg'，所以gH=Hg'
现在任取x∈G
如果x∈H，那么xH=Hx=H
如果x∉H，那么xH≠H，所以xH=gH。同样，Hx≠H，所以Hx=Hg'
所以xH=gH=Hg'=Hx
所以H是正规子群
H只有两个左陪集：H和gH
那么G=H ∪ gH，而且|H|=|G|/2，所以H也只能有两个右陪集：H和Hg'
而且G=H ∪ Hg'，所以gH=Hg'
现在任取x∈G
如果x∈H，那么xH=Hx=H
如果x∉H，那么xH≠H，所以xH=gH。同样，Hx≠H，所以Hx=Hg'
所以xH=gH=Hg'=Hx
所以H是正规子群
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