Question

已知F1,F2为椭圆x^2/100+y^2/64=1（0＜b＜10）的左右焦点，P是椭圆上一点。求|PF1|*|PF2|的最大值

我知道正确答案，以下是我做的，就想问一下为什么不对。
依题意得 a=10，b=8，c=6。根据余弦定理|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|=2|PF1||PF2|Cosα
{α为角F1PF2} 所以〔|PF1|+|PF2|〕^2-|F1F2|=2|PF1||PF2|Cosα+2|PF1||PF2|
所以〔|PF1|+|PF2|〕^2-144=2|PF1||PF2|〔|Cosα+1〕所以|PF1||PF2|=〔400-144〕/2〔Cosα+1〕所以 64＜|PF1||PF2|≤128所以|PF1||PF2|最大值=128
如果椭圆为x^2/100+y^2/9=1那怎么做啊？这个时候就能取到90度。

Answer 1

你的解法是，当cosα=0，即α=90°时，|PF1|*|PF2|取得最大值128。这是不对的，因为就本题而言，无论P在椭圆上的哪一点，α总是个锐角，你可以计算出来α最大是74°。
正确解法：离心率e=6/10=3/5，左右线分别为x=±50/3，设P点的横坐标为x，则
P到左准线的距离d1=x+(50/3)，P到右准线的距离d2= (50/3)- x
由椭圆第二定义有|PF1|/d1=e，|PF2|/d2=e，所以
|PF1|*|PF2|=(d1e)*(d2e)=[ x+(50/3)][ (50/3)- x]*(3/5)²=(2500-9x²)/25
当P点的横坐标x取0时，|PF1|*|PF2|取到最大值100。