Question

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与BC重合）..........

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与BC重合），以AD为一边在AD的右侧作三角形ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
（1）当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=?
(2)设∠BAC=a，∠BCE=β
当点D在线段BC上移动，则a,β有什么样的关系？理由？
当点D在BC上移动，则a，β有怎样的数量关系？不需理由

Answer 1

解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；

（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；

②当点D在射线BC上时，α+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC+∠B+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．

Answer 2

解（1）∠BCE=90°
首先在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠ACB=45°，又因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE，又AE=AD，AB=AC，所以△ABD相似于△ACE，所以∠B=∠ACE=45°，所以∠BCE=90°
（2）β=180-a