Question

【急~！高中数学！】设a1,a2,a3,……,an是各项均不为零的等差数列(n≥4),且公差d≠0

设a1,a2,a3,……,an是各项均不为零的等差数列(n≥4),且公差d≠0,若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则a1/d的所有可能值是______

过程~thank you~~

Answer 1

由于为等比数列，只要连续3项就可确定数列的首项和公比！
故只需要讨论4项删去某一项后剩3项即可！
故只要讨论a1,a2,a3,a4即可！

(1)删掉首项:
a2,a3,a4
a3^2＝(a3-d)(a3+d)
d=0
舍！
(2)删掉a2
(a1+2d)^2=a1*(a1+3d)
a1/d＝-4
(3)删掉a3
(a1+d)^2=a1*(a1+3d)
a1/d＝1
(4)删掉a4
与(1)相同

综上，a1/d＝1或-4

Answer 2

假设n>4，则删去一项后新数列还存在原来数列连续的三项
an =a1+(n-1)d
an+1/an=(a1+nd)/a1+（n-1）d)
推出a1/d=((n-1)q-n)/1-q（q!=1)
由于n任意，则显然a1/q不存在。
所以n只有等于4。剩下的问题自己解决吧

Answer 3

若此数列中的某连续三项没有被删去，则这三项既成等差数列，又成等比数列，即有 a^2=(a-d)*(a+d),得d=0,不合题意.
故此数列只有4项，且只能删去第二或第三项.
若删去第二项，则 a^2=(a-2d)(a+d) (数列的第三项设为a)
∵d≠0 ∴ a=-2d, a1/d=(a-2d)/d=-4d/d=-4;
若删去第三项，则b^2=(b-d)(b+2d) (数列的第二项设为b)
同样，可得b=2d,进而求得a1/d=1.
故a1/d的可能值是1或－4.