Question

已知数列{an}的前n项和Sn=1/2(n^2-n+2),数列bn的首项b1=1，且bn-b(n-1)=1/(2^（n-1）) (n≥2)

Answer 1

1.(求an)
Sn=(1/2)(n^2-n+2)
S(n-1)=(1/2)[(n-1)^2-n+3]
an=sn-s(n-1)
=(1/2)(n^2-n+2)-(1/2)[(n-1)^2-n+3]
=n-1
2.(求bn)
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)
用叠加法：
bn-b1=1/2^(n-1)+1/2^(n-2)+……+1/2^2+1/2
=(1/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)
=1-1/2^(n-1)
bn=2-1/2^(n-1);
3.
an＞5bn
n-1＞5[2-1/2^(n-1)]=10-5/2^(n-1)
5＞(11-n)2^(n-1)
当11-n≤0即n≥11时，不等式恒成立，
所以
存在
自然数
n0=11，对一切n0≥11的自然数n，恒有an＞5bn。

Answer 2

由sn=n^2+2n得an=2n+1
因为第n项bn是数列{an}的第b(n-1)项
所以bn=2b(n-1)+1
所以bn+1=2(b(n-1)+1)
bn+1=2^n所以bn=2^n-1
b(n+1)-2bn=2^(n+1)-1-2(2^n-1)
=1
b(n+1)＞2bn