Question

如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2√3,点P是边BC上的动点(点P不与点B、C重合）

Answer 1

分析：（1）此题首先要抓住运动变换中的不变量和不变关系：①矩形的长度；②△ABD和△BCD的形状特征及三边关系；③PQ∥BD；④△PQC与△PQR关于PQ对称，满足轴对称的一切性质等；
（2）要找准瞬间状态，准确的画出图形，变动为不动；
（3）以（2）题的结论为界点，分段考虑问题．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=23，∠C=90°，
∴CD=6，BC=23；
∴tan∠CDB=BCCD=33；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；
（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，∴RP=2BP；
令CP=x，∴RP=x，PB=23-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（23-x）=x，解得x=433；
（3）当R在矩形ABCD的外部时，433＜x＜23；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（23-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-43；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=3x-4；
∴S△ERF=12ER×FR=332x2-12x+83；
∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当433＜x＜23时，y=-3x2+12x-83．
∴833＜y＜43．
点评：此题是“动态类”问题，涉及到矩形的性质、图形的折叠变换、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，涉及知识点交点，注意分类讨论．