Question

三角形两边之差小于第三边的证明？

Answer 1

1、设三角形的三边长分别为a,b,c,由两点之间直线最短，可得a+b>c，根据不等式定理——不等式两边同时加或减同一个数，不等式方向不变，可得，a>c-b和b>c-a，同理，可证明其它。
即三角形中两边之差小于第三边。
2、延伸：
证明三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
证明：设三角形abc的三个顶角a、b、c所对的边为a、b、c，
则固定a、b的长度，并固定边a不动，边b围绕c点转动，
那么在边b转动过程中，点a与点b之间的距离，即边c的长度就在变化；
易知，在边b转动的过程中，
a、b两点的最短距离是，a、b、c共线，且∠acb=0°，则c(min)=|a-b|；
a、b两点的最长距离是，a、b、c共线，且∠acb=180°，则c(max)=a+b。
然而要想三点a、b、c能连成一个三角形，这三点是不能共线的，
即只有边c在它的两个极值之间变化才能构成一个三角形，
即边c必须满足|a-b|＜c＜a+b，即常说的：
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
注：min是最小值，max是最大值的意思！

Answer 2

原理：两点之间线段最短。可以得出两边之和大于第三边，移项就得出两边之差小于第三边了。
三角形两边之差小于第三边。
设△ABC，假定BC＞AB＞AC
由于两点之间线段最短，有AB+AC＞BC
根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去AC，得AB＞BC－AC
同理可证BC＞AB－AC，AC＞BC－AB
得证。