Question

已知函数f(x)=lnx-ax^2+(2-a)x. (1)讨论f(x)的单调性； （2）设a>0,证明：

Answer 1

(1)∵f(x)=lnx-ax²+(2-a)x
(x>0)
∴
f'(x)=1/x-2ax+2-a=1/x-a(2x+1)+2
f'(x)=0.则1/x-a(2x+1)+2=0
所以(2x+1)(ax-1)=0
∵x>0,x=-1/2(舍弃),
所以x=1/a;
∴当0<x<1/a,
f'(x)>0,
函数为增函数,
x>1/a,
f'(x)<0,函数为减函数
(2)
令T(x)=f(1/a+x)-f(1/a-x)，
则T(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，
T'(x)=a/(1+ax)+a/(1-ax)-2a=2a³x²/(1-a²x²)
当
0<x<1/a时，1-a²x²>0，T'(x)>0,∴
T(x)为增函数
又
T(0)=0
∴
T(x)>T(0)
即
f(1/a+x)>f(1/a-x)
(3)函数f(x)=lnx-ax^2+(2-a)x的图像与x轴交于A，B两点
就是-ax^2+(2-a)x与x轴交于A，B两点,lnx与x轴无交点,画图可知
∴-ax^2+(2-a)x=0
∴x1=0,x2=2/a-1
线段AB中点的横坐标为xo=(x2+x1)/2=1/a-1/2<1/a
由(1)知，当x<1/a,
f'(x)>0,
函数为增函数,
∴f'(xo)>0