Question

已知函数f(x)=(2x^2+bx+c)/(x^2+1)(b＜0)的值域[1,3]

Answer 1

f(x)=(2x^2-2x+2)/(x^2+1)
F(x)=lgf(x)=lg(2x^2-2x+2)/(x^2+1)
下面用定义法：设x1,x2∈[-1,1]且x1＜x2
则：F(x1)-F(x2)=lg(2x1^2-2x1+2)/(x1^2+1)-lg(2x2^2-2x2+2)/(x2^2+1)
=lg[(2x1^2-2x1+2)(x2^2+1)/(2x2^2-2x2+2)(x1^2+1)]＞0
定义知F(x)=lgf(x)在[-1,1]上为减函数

Answer 2

(1)
因为y=f（x)＝（2x^2+bx+c)/(x^2+1)的
定义域
为R.
所以2x^2+bx+c=yx^2+y
整理得(2-y)x^2+bx+(c-y)=0
当y=2时，x=(2-c)/b.
因为b<0，所以成立.
当y≠2时，
Δ=b^2-4(2-y)(c-y)=-4y^2+(8+4c)y+(b^2-8c)≥0.
由题意，1,3为该方程的两根。
所以，
1+3=-(8+4c)/-4…①
1*3=(b^2-8c)/-4…②
由①②解得:b=-2(正值舍去），c=2.

Answer 3

(1)y=(2x^2+bx+c)/(x^2+1)
(y-2)x^2-bx+y-c=0
δ=b^2-4(y-2)(y-c)
y=3、y=1时分别代入得
b=-2
c=2
(2)f(-1)=3
f(1)=1
判断单调递减
证明：y=(2x^2+2-2x)/(x^2+1)=2-2x/(x^2+1)=2-2/(x+1/x)
由于g(x)=x+1/x
在[-1,0)和(0,1]上单调递减
故y=2-2/(x+1/x)在[-1,1]上是减函数
(3)①t<-1/6
f[|t-1/6|-|t+1/6|]=f(1/3)=1.4
②-1/6≤t≤1/6
f[|t-1/6|-|t+1/6|]=f(-2t)=(8t^2+4t+2)/(4t^2+1)
③t>1/6
f[|t-1/6|-|t+1/6|]=f(-1/3)=2.6