Question

已知双曲线的渐近线方程为y=±1/2x，焦距为10

Answer 1

双曲线的题目要分两种情况讨论：
当焦点在x轴上时，渐近线方程为y=±bx/a,
所以此时有b/a=1/2，2c=10,又因a^2+b^2=c^2,
联立解得a=2√5,b=√5.
所以双曲线方程为x^2/20-y^2/5=1.
当焦点在y轴上时，渐近线方程为y=±xa/b,
所以此时有a/b=1/2，2c=10,又因a^2+b^2=c^2,
联立解得a=√5,b=2√5.
所以双曲线方程为y^2/5-x^2/20=1.

Answer 2

当焦点在x轴时，设双曲线方程为：x²/a²-y²/b²=1，∵其一条渐近线的斜率为2，∴b/a=2，即b=2a，
∴双曲线方程即x²/a²-y²/4a²=1，将（2，-6）代入有：4/a²-36/4a²=1，即4/a²-9/a²=1即-5/a²=1，∴a²=-5，不合题意舍。当焦点在y轴时，设双曲线方程为y²/a²-x²/b²=1，∵其一条渐近线的斜率为2。∴a/b=2，∴a=2b，代入方程有：y²/4b²-x²/b²=1，将（2，-6）代入有：9/b²-4/b²=1，即5/b²=1，∴b²=5，∴a²=4b²=20，
∴所求双曲线方程为：y²/20-x²/5=1，
∴a=2√5，c²=a²
b²=25，∴c=5
∴离心率e=c/a=5/2√5=√5/2