求微分方程的通解
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方程改写为：dx/dy＋1/3×x＝2cosy/3×x^(-2)，此为伯努利方程，n＝-2
令z＝x^3，则方程化为z'＋z＝2cosy，套用通解公式，得z＝e^(-y)×[e^y(siny+cosy)＋c]＝siny＋cosy＋ce^(-y)
所以，原方程的通解是x^3＝siny＋cosy＋ce^(-y)
令z＝x^3，则方程化为z'＋z＝2cosy，套用通解公式，得z＝e^(-y)×[e^y(siny+cosy)＋c]＝siny＋cosy＋ce^(-y)
所以，原方程的通解是x^3＝siny＋cosy＋ce^(-y)
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求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解
解：xy'+y=yln(xy)；令xy=u，则y=u/x........(1)，y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²，代入原式得：
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu，化简得du/dx=(u/x)lnu，
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx；
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx，即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验：对通解的两边取对数：lny=Cx-lnx；取导数：y'/y=C-1/x；故y'=Cy-(y/x)；
代入原式：左边=Cxy-y+y=Cxy；右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy；故左边=右边，答案正确。】
解：xy'+y=yln(xy)；令xy=u，则y=u/x........(1)，y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²，代入原式得：
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu，化简得du/dx=(u/x)lnu，
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx；
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx，即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验：对通解的两边取对数：lny=Cx-lnx；取导数：y'/y=C-1/x；故y'=Cy-(y/x)；
代入原式：左边=Cxy-y+y=Cxy；右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy；故左边=右边，答案正确。】
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