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求微分方程的通解
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方程改写为:dx/dy+1/3×x=2cosy/3×x^(-2),此为伯努利方程,n=-2
令z=x^3,则方程化为z'+z=2cosy,套用通解公式,得z=e^(-y)×[e^y(siny+cosy)+c]=siny+cosy+ce^(-y)
所以,原方程的通解是x^3=siny+cosy+ce^(-y)
令z=x^3,则方程化为z'+z=2cosy,套用通解公式,得z=e^(-y)×[e^y(siny+cosy)+c]=siny+cosy+ce^(-y)
所以,原方程的通解是x^3=siny+cosy+ce^(-y)
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求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解
解:xy'+y=yln(xy);令xy=u,则y=u/x........(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得:
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx;
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx,即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验:对通解的两边取对数:lny=Cx-lnx;取导数:y'/y=C-1/x;故y'=Cy-(y/x);
代入原式:左边=Cxy-y+y=Cxy;右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy;故左边=右边,答案正确。】
解:xy'+y=yln(xy);令xy=u,则y=u/x........(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得:
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx;
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx,即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验:对通解的两边取对数:lny=Cx-lnx;取导数:y'/y=C-1/x;故y'=Cy-(y/x);
代入原式:左边=Cxy-y+y=Cxy;右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy;故左边=右边,答案正确。】
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