Question

椭圆的内接矩形的最大值 拉格朗日？

求

Answer 1

内接矩形面积是目标函数 设顶点坐标分别是x y 由于沿坐标轴对称
面积S=4xy
约束条件x^2/a^2+y^2/b^2=1
做拉格朗日函数L=4xy＋λ（x^2/a^2+y^2/b^2－1）
求偏导
L'x=4y+2λx/a^=0 ①
L'y=4x+2λy/b^=0 ②
x^2/a^2+y^2/b^2－1=0 ③
由①②得：x^b^=a^y^ 代入③：
x^=a^/2
y^=b^/2
S(max)=4xy=4(√a^b^/4)=4(ab/2)=2ab