Question

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

Answer 1

（1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由AC^对的圆周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直径
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵OD⊥弦BC于点F，且点O为原点
∴BF=FC
∴BF=4
由题意OB是半径即为5
∴在直角三角形OBF中OF为3
由以上（1）得到△OBF∽△OBD
∴BD/BF=OB/OF
即得BD=20/3．
（3）
连结BE
∵AB为直径
∴∠AEB=90°
∵OD⊥BC
∴△BFE∽△EFG
∵BF=4
FE=5-3=2
∴GF=1