1的平方加2的平方加3的平方……加到n的平方怎么算?
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+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+.+(n-1)^2]-(2+3+4+;2=(n/.+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+.+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.........;2
3(1^2+2^2+.+n^2)-2-n^2-(1+2+3+;2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+......+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+.+n^2)+[1^2+2^2+........+n^2)-1-n^2-n(n+1)/.+n^2)-2+[1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+.+(n-1)^2]-(2+3+4+;2=(n/.+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+.+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.........;2
3(1^2+2^2+.+n^2)-2-n^2-(1+2+3+;2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+......+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+.+n^2)+[1^2+2^2+........+n^2)-1-n^2-n(n+1)/.+n^2)-2+[1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/
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利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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