Question

已知F1,F2分别是椭圆x2/16+y2/7的左、右焦点。若点P在椭圆上，且向量PF1*PF2=0，求向量||PF1|-|PF2||的值

Answer 1

答案：2(根号2)
解：由题得： a=4 , b=根号7 ， c=3
则 F1(-3 ,0) F2(3 ,0) |F1F2|=2c=6 2a=8
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a=8
设点P的坐标P(x ,y)
因为,向量PF1*PF2=0 ，
所以，PF1⊥PF2
所以， [y/(x+3)][y/(x-3)]=－1
即：x^2+y^2=9 ,
将x^2=9 -y^2代入 椭圆x^2/16+y^2/7=1 中
得:(9-y^2)/16+y^2/7=1
7(9-y^2)+16y^2=16*7
解之，y^2=49/9
所以 |y|=7/3
在Rt△PF1F2中，利用等积
S△PF1F2=(|F1F2|*|y|)/2=(|PF1|*|PF2|)/2
∴ |PF1|*|PF2|=|F1F2|*|y|=6*(7/3)=14
因为,|PF1|+|PF2|=2a=8
所以 (|PF1|-|PF2|)^2=(|PF1|+|PF2|)^2-4|PF1|*|PF2|=8^2-4*14=8
所以||PF1|-|PF2||= 2(根号2)
《解毕》！