Question

设三角形ABC的内角ABC所对的边分别为abc，且acosB-bcosA=1/2c

Answer 1

解：利用余弦定理代入acosb-bcosa=3/5
化简后得a^2-b^2=(3/5)c
(1)tgactgb=sinacosb/(cosasinb)
利用正弦定理和余弦定理代进去，最后化简（把a^2-b^2=(3/5)c代入）得
（5c+3）/（5c-3）
(2)tg(a-b)=(sinacosb-sinbcosa)/(cosacosb+sinasinb)
用利用正弦定理和余弦定理代进去,化简得
30/{[(25c^2-9)r]/(ab)+25ab/r}
{[(25c^2-9)r]/(ab)+25ab/r}≥2√{[
(25c^2-9)
r]/(ab)
×
25ab/r}
{[(25c^2-9)r]/(ab)+25ab/r}≥10√(25c^2-9)
分母的最小值是10√(25c^2-9储尝臂妒赚德辫泉播沪)
则分式的最大值是30/[10√(25c^2-9)]=3/√(25c^2-9)

Answer 2

(1)
∵acosB-bcosA=1/2c/
∴2R×sinAcosB-2R×sinBcosA=2R*sinC×1/2(正弦定理)
∴sinAcosB-sinBcosA=1/2sinC
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin[π-(A+B)]
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin(A+B)
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAcosB=3sinBcosA
∴tanAcotB=3
(2)
∵tanAcotB=3
∴cotB=3/tanA
∴tanB=1/cotB=tanA/3
∵tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA×tanB)
∴tan(A-B)=(tanA-tanA/3)/(1+tanA×tanA/3)
∴tan(A-B)=(2tanA/3)/(1+tan²A/3)
∴tan(A-B)=2tanA/(3+tan²A)
∴tan(A-B)=2/(3/tanA+tanA)≤√3/3(均值定理)
当且仅当3/tanA=tanA，即tanA=√3时，等号成立，等式tan(A-B)取得最大值√3/3.