Question

问题： 求（1^2+3^2+5^2+7^2+........+（2n-1）^2）/n^3当n趋向于正无穷时的极限

Answer 1

1^2+..+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2-1)
可以用以下证明。
证明过程如下:
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+...+(2n)^2=2n(2n+1)(4n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3
2^2+4^2+...+(2n)^2=4(1^2+2^2+...+n^2)=4n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3
1^2+3^2+...(2n-1)^2=[1^2+2^2+...+(2n)^2]-[2^2+4^2+...+(2n)^2]
=n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(2n-1)/3=(1/3)n(4n^2-1)
最后把分子n^3的项的系数求出来。就是需要求的极限值。4/3